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RSA-Verschlüsselung: Das Geheimnis der Primzahlen

Wie verschickt man ein Geheimnis?

Stellen Sie sich vor, Sie wollen jemandem eine geheime Nachricht schicken, aber jeder Postbote ist ein Spion. Wenn Sie die Nachricht in eine Kiste legen und ein Vorhängeschloss daran machen, können Sie die Kiste verschicken. Aber wie bekommt der Empfänger den Schlüssel? Wenn Sie den Schlüssel auch per Post schicken, kopiert ihn der Spion. Das ist das klassische Problem der Kryptographie. 1977 lösten Rivest, Shamir und Adleman (RSA) dieses Problem mit einer revolutionären Idee: Man braucht zwei verschiedene Schlüssel – einen zum Abschließen und einen anderen zum Aufschließen.

Die Einbahnstraße der Mathematik

Der mathematische Kern von RSA beruht auf einer "Falltür-Funktion" (Trapdoor Function). Es gibt Rechenaufgaben, die in eine Richtung kinderleicht, aber rückwärts extrem schwer sind.

• Vorwärts (Einfach): Nehmen Sie zwei riesige Primzahlen (z.B. mit 300 Stellen) und multiplizieren Sie diese. Ein Computer schafft das in Millisekunden. Das Ergebnis ist der Öffentliche Schlüssel.

• Rückwärts (Schwer): Nehmen Sie das Ergebnis und versuchen Sie, die beiden ursprünglichen Primzahlen zu finden (Primfaktorzerlegung). Selbst Supercomputer würden dafür Millionen Jahre brauchen. Nur wer die beiden Primzahlen kennt (der Besitzer des Privaten Schlüssels), kann die Nachricht entschlüsseln.

Das Briefkasten-Prinzip

Man kann sich RSA wie einen öffentlichen Briefkasten vorstellen. Jeder kann einen Brief einwerfen (verschlüsseln mit dem öffentlichen Schlüssel). Aber sobald der Brief drin ist, kann ihn niemand mehr herausholen – auch nicht derjenige, der ihn eingeworfen hat. Nur der Besitzer des Briefkastens, der den einzigartigen privaten Schlüssel hat, kann die Klappe öffnen und die Nachrichten lesen.

Modulo-Rechnung im Browser

Jedes Mal, wenn Sie im Browser "https" sehen, führen Computer im Hintergrund diese Primzahl-Mathematik aus. Für Informatik-Studenten ist dies die wichtigste Anwendung der Zahlentheorie. Ein moderner online rechner für Modulo-Rechnung kann das Prinzip im Kleinen demonstrieren ($C = M^e \mod n$). Er zeigt, wie aus Text durch reine Mathematik unleserlicher Datensalat wird, der nur durch die korrekte mathematische Umkehroperation wieder Sinn ergibt.

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